Question

已知椭圆C：3x²＋4y²＝12，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m，椭圆上有不同的两点A、B关于这条直线对称．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设椭圆上关于l对称的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得13x2－8bx＋16b2－48＝0． 　　∵x1≠x2， 　　∴△＝64b2－4×13(16b2－48)＞0， 　　即4b2－13＜0，＜b＜． 　　又x1＋x2＝，． 　　∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b，b． 　　而线段AB的中点在直线l上， 　　∴b＝＋m，m＝b． 　　∴m∈(，)． 　　解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则 　　3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 　　＝＝＝． 　　∴y0＝3x0．又M(x0，y0)在直线l上， 　　∴解得 　　∵点M(－m，－3m)在椭圆内部，∴3(－m)2＋4(－3 m)2＜12，即＜m＜． 　　∴m的取值范围为m∈(，)． 　　解析：解法一：对称的实质，一是直线AB与l垂直，二是线段AB的中点在l上，故可设出直线AB的方程，与椭圆联立，利用判别式求解． 　　解法二：因为存在关于l对称的两点A、B，所以AB的中点在l上，由直线AB与直线l垂直，知kAB＝，故可用“点差法”求出AB中点M的坐标，然后利用点M在椭圆内部去求解．

提示：

解法一是一般解法，而解法二是充分利用对称的特点，利用“点差法”求解，减少了运算量．