Question

已知2z+（2+i）为纯虚数，z•（3+4i）为实数，则z=

 

．

Answer 1

分析：设z=a+bi，a、b∈R，由2z+（2+i）为纯虚数，得到2a+2=0，2b+1≠0，由 z•（3+4i）为实数得到
4a+3b=0，解出a、b值，即得所求．

解答：解：设z=a+bi，a、b∈R，
∵2z+（2+i）为纯虚数，2z+（2+i）=2a+2+（2b+1）i，∴2a+2=0，2b+1≠0．
∵z•（3+4i）为实数，z•（3+4i）=（a+bi ）（3+4i）=3a-4b+（4a+3b）i，
∴4a+3b=0，∴a=-1，b=

4

3

，∴z=-1+

4

3

i，
故答案为：-1+

4

3

i．

点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数为实数、纯虚数的条件．
准确运算是解题的关键．