Question

已知p：不等式mx²+1＞0的解集是R；q：f（x）=log_mx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次不等式恒成立的充要条件，可得不等式mx²+1＞0的解集是R时，即命题p为真时，参数m的取值范围，根据对数函数的单调性与底数的关系，求出f（x）=log_mx是减函数，即命题q为真时，参数m的取值范围，由复合命题的真值表，结合p∨q为真，p∧q为假，可得p和q一真一假，分类讨论后可得m的取值范围．

解答：解：因为不等式mx²+1＞0的解集是R，
所以

m＞0 △＜0

或m=0，
解得m≥0，即p：m≥0．（3分）
又f（x）=log_mx是减函数，
所以0＜m＜1，即q：0＜m＜1，（6分）
又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．
即p为真，q为假；或p为假，q为真．
∴

m≥0 m≥1

或

m＜0 0＜m＜1

，得m≥1．
∴m的取值范围是m≥1．（10分）

点评：本题又复合命题的真假判断为载体考查了一元二次不等式恒成立问题，及对数函数的单调性，难度不大，属于基础题．