Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC． （Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设 则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R
∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a2=b2+c2+bc
∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA
故cosA=﹣ ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°﹣B）
= cosB+ sinB
=sin（60°+B）
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1
【解析】（Ⅰ）根据正弦定理，设 ，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc 再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．