Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点，结合等腰三角形性质及直三棱柱的几何特征，我们易判断出AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，进而根据线面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面AEF；
（2）B₁M⊥AE于M，连接FM，由三垂线定理我们易得∠B₁MF即为二面角B₁-AE-F的平面角，解三角形B₁MF，即可求出二面角B₁-AE-F的正切值．

解答：证明：（1）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，
∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面C₁B，
∴AF⊥B₁F
设AB=AA₁=1，
∴B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，
∴B₁F⊥面AEF
解：（2）∵B₁F⊥面AEF，
作B₁M⊥AE于M，连接FM，
∴∠B₁MF为所求
又∵FM=

3

10

，
所求二面的正切值为

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定及二面角的平面角的求法，其中在求二面角时，找出二面角的平面角是解答本题的关键．