Question

已知：点F是抛物线：x²=2py（p＞0）的焦点，过F点作圆：（x+1）²+（y+2）²=5的两条切线互相垂直．
（Ι）求抛物线的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+b（k＞0）交抛物线于A，B两点．
①若抛物线在A，B两点的切线交于P，求证：k-k_PF＞1；
②若B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，A，B在y轴两侧，且S△OAB=

3

4

，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，因为半径为

5

，所以点F到圆心的距离为

10

，即可得1+(

p

2

+2)2=10，进而求出p的数值．
（II）①设A，B两点的坐标分别为（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），利用导数求出切线的斜率，写出两条切线的方程，求出交点P的坐标，进而求出k_PF=

1+b

-2k

，所以k-k_PF=k-

1+b

-2k

=k+

1+b

2k

=

k2+b+k2+1

2k

，所以由基本不等式可得：k-k_PF＞

k2+1

2k

≥1．
②联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，可得x₂=-2x₁．进而得到b=8k²．因为S△OAB=

3

4

，结合题意可得

b

2

16k2+16b

=

3

4

，进而得到k=

1

4

，b=

1

2

．

解答：解：（I）由题意可得：过F点作圆：（x+1）²+（y+2）²=5的两条切线互相垂直，切点分别为M，N．
所以由圆心、切点与点F形成的四边形为正方形，
因为半径为

5

，
所以点F到圆心的距离为

10

，即可得1+(

p

2

+2)2=10，
解得：p=2或者p=-10（舍去），
所以抛物线的方程为x²=4y．

（II）①设A，B两点的坐标分别为（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），
因为抛物线的方程为x²=4y，
所以y′=

1

2

x．
所以切线AP为：y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

…①
切线BP的方程为：y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

…②，
由①②可得点P的坐标为（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）．
联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
所以可得点P的坐标为（2k，-b），
所以k_PF=

1+b

-2k

，
所以k-k_PF=k-

1+b

-2k

=k+

1+b

2k

=

k2+b+k2+1

2k

＞

k2+1

2k

，
所以由基本不等式可得：k-k_PF＞

k2+1

2k

≥1．
所以k-k_PF＞1．
②设A，B两点的坐标分别为（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），
由题意可得：联立直线l：y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，…①
因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，
所以

x 2 2

4

=4

x 2 1

4

，即x₂²=4x₁²．
因为A，B在y轴两侧，
所以x₂=-2x₁…②
由①②可得：b=8k²…③．．
又因为S△OAB=

1

2

×b|x1-x2|=

b

2

×  

(x1+x2)2-4x1x2

 =

3

4

，
所以结合①整理可得：

b

2

16k2+16b

=

3

4

…④，
所以由③④可得：k=

1

4

，b=

1

2

．
所以l的方程为：l：y=

1

4

x+

1

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且熟练利用利用数形结合的数学思想解决数学问题．