Question

已知函数f（x）=x³-9x²cosα+48xcosβ+18sin²α，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对任意的m∈[-26，6]，恒有f（x）≥x²-mx-11，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出f'（x），即g（x），它是关于x的二次函数，对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
可先求出1+cost和3+sint的范围，转化为g（x）在某些区间上恒成立，结合二次函数的图象确定g（x）应满足的条件．
（2）由题意对任意的m∈[-26，6]恒成立，只要把式子看成关于m的不等式恒成立即可．
解答：解：（1）g（x）=f'（x）=3x²-18xcosα+48cosβ
对任意的实数t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．
对任意的实数t有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
即对任意的实数x∈[0，2]有g（x）≥0，x∈[2，4]时有g（x）≤0
∴即，解得
所以f（x）=x³-9x²+24x
（2）令g（m）=f（x）-x²+mx+11=xm+x³-10x²+24x+11
由题意只要即，解得
点评：本题考查待定系数法求解析式、不等式恒成立问题，综合性强，难度较大．