Question

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．
（椎体体积公式V=Sh，其中S为地面面积，h为高）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．
证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．
（Ⅱ）解法一，连接BN，则V _A′-MNC=V _N-A′MC=V _N-A′BC=V _A′-NBC=．
解法二，V _A′-MNC=V _A′-NBC-V _M-NBC=V _A′-NBC=．
解答：（Ⅰ）（证法一）
连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；
（证法二）
取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故
V _A′-MNC=V _N-A′MC=V _N-A′BC=V _A′-NBC=．
（解法二）
V _A′-MNC=V _A′-NBC-V _M-NBC=V _A′-NBC=．
点评：本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力．