Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=3f（x）+2，若a₁=1，a_n=f（n）．
（1）设C_n=a_n+1，证明：{C_n}是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证

cn+1

cn

=3，易求c₁=a₁+1=2，从而可证数列{C_n}是以2为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，c_n=2•3^n-1，于是a_n=2•3^n-1-1，利用分组求和法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵f（x+1）=3f（x）+2，a_n=f（n），
∴

cn+1

cn

=

an+1+1

an+1

=

3an+3

an+1

=3，
又a₁=1，于是c₁=a₁+1=2，
∴数列{C_n}是以2为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，c_n=2•3^n-1，而C_n=a_n+1，
∴a_n=2•3^n-1-1，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=2（1+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n
=3ⁿ-n-1．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，考查分组求和，属于中档题．