Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形且∥，侧面为等边三角形，且平面平面.

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（2）若，且直线与平面所成角为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分别取的中点为，易得两两垂直，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得为平面的法向量，只需求出平面的法向量为，再利用计算即可；

（2）求出，利用计算即可.

（1）分别取的中点为，连结.

因为∥，所以∥.

因为，所以.

因为侧面为等边三角形，

所以

又因为平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

所以两两垂直.

以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，则，

，.

设平面的法向量为，则，即.

取，则，所以.

又为平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则

，

所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.

（2）由（1）得，平面的法向量为，

所以成.

又直线与平面所成角为，

所以，即，

即，

化简得，所以，符合题意.