Question

（2008•湖北模拟）已知函数f（x）在（-1，1）上有意义，f（

1

2

）=-1，且对任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若数列{xn}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)，求f(xn）．
（3）求证：

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

(n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0又令y=-x，x∈（-1，1），则f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；
（2）1+x_n²≥2|x_n|得到：|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，即有|

2xn

1+ x 2 n

|＜1，进一步得出

f(xn+1)

f(xn)

=2，{f（x_n）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式
求得f（x_n）；
（3）用等比数列的求和公式可求

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

，由-2+

1

2n-1

是递减数列，可得到证明．

解答：解：（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0），即f（0）=0（1分）
又令y=-x，x∈（-1，1），则f（x）+f（-x）=f（0）=0（3分）
即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．（4分）
（2）1+x_n²≥2|x_n|∴|

2xn

1+ x 2 n

|≤1又x1=

1

2

，∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1
f（x₁）=f（

1

2

）=-1
而f（x_n+1）=f（

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+xnxn

)=f(xn)+f(xn)=2f(xn）．（7分）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2（8分）
∴{f（x_n）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
故f（x_n）=-2^n-1（9分）
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=-(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

（11分）
∵-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

＞-2 (n∈N*）
又-

2n+3

n+1

=-2-

1

n+1

＜-2 (n∈N*）
故

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＞-

2n+3

n+1

 (n∈N*）（14分）

点评：本题主要考查了抽象函数的关系求解数列的项及通项公式，解题的关键是要根据函数关系合理的赋值，还考查了等比数列的通项公式及求和公式及数列单调性求数列最值的应用，综合的知识较多．