Question

如图,在椭圆C中,点F₁是左焦点,A(a,0),B(0,b)分别为右顶点和上顶点,点O为椭圆的中心.又点P在椭圆上,且满足条件:OP∥AB,点H是点P在x轴上的?射影.

(1)求证:当a取定值时,点H必为定点;

(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间,试求椭圆的离心率的取值范围;

(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切,且凸四边形ABPH的面积等于3+2,求椭圆的方程.

Answer 1

解:(1)证明:由k_AB=,OP∥AB,得l_OP:y=x,代入椭圆方程=1,得x²=,

∴P(a,b)或P(a,b).∵PH⊥x轴,

∴H(a,0)或H(a,0).∵a为定值,∴H为定点.

(2)∵点H落在左顶点与左焦点之间,∴只有H(a,0),且-a＜a＜-c,

可解得0＜e＜.

(3)以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于|OP|.

由条件设直线AB:+=1,则点O到直线AB的距离d=,

又|OP|=,∴=,得a²+b²=2ab.①

又由S_{四边形ABPH}=S_△ABO+S_{四边形OBPH}=ab+(b+b)a=ab=3+,

得ab=4,②

由①②解得a²=4(+1),b²=4(-1),所以所求椭圆方程为=1.