Question

关于x的方程sin²x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是

[-2，2]

．

Answer 1

分析：令 t=cosx，t∈[-1，1]，故方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解，再根函数的单调性可得f（-1）≥0，
且f（1）≤0，解不等式求得a的取值范围．

解答：解：关于x的方程sin²x+2cosx+a=0有解，即-cos²x+2cosx+a+1=0 有解．令 t=cosx，t∈[-1，1]，
故方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解．又函数f（t）=t²-2t-a-1在[-1，1]上单调递减，
故f（-1）≥0，且f（1）≤0．  即 （-a+2）≥0，且 （-a-2）≤0，∴-2≤a≤2，
故答案为：[-2，2]．

点评：本题考查三角函数的最值，二次函数的性质，得到方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解，是将诶提的关键．