Question

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

Answer 1

思路分析：本题充分把解析几何问题与代数知识紧密结合,在解决该题的过程中无论哪种办法都不可避免地要用到代数相关知识,这也体现了数学学科的特点.该题也可从两个方面去考虑,利用椭圆参数方程与利用普通方程来考虑把问题解决.对于学生灵活应用知识的能力也是一个考查,对于具体问题具体分析,从而解决问题.

解：由题设,设椭圆的参数方程为(a＞b＞0),∵e=,

∴a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,

则d²=x²+(y-)²=a²cos²θ+(bsinθ-)²=-3b²(sinθ+)²+4b²+3,

如果＞1,b＜,则当sinθ=-1时,d²有最大值,由题设有()²=(b+)²,b=-＞,与b＜相矛盾.因此必有≤1,于是当sinθ=时,d²有最大值,

由题设有()²=4b²+3,b=1,a=2,所以所求椭圆的参数方程是

消去参数θ得+y²=1.由sinθ=-,cosθ=得椭圆上的点(,-),(,-)到点P的距离都是.