Question

【题目】设函数.

（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）求证： .

Answer 1

【答案】（1）实数的取值范围是；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当， 时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。

试题解析：

（1）令，

则，

令，

则

①当时，有 ，于是在上单调递增，从而，

因此在上单调递增，

所以，符合题意。

②当时，有 ，于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，

所以，不合题意；

③当时，令，

则当时， ，于是在上单调递减，

从而，

因此在上单调递减，

所以，而且仅有，不合题意.

综上所求实数的取值范围是.

（2）对要证明的不等式等价变形如下：

对于任意的正整数，不等式恒成立，

即恒成立，

变形为恒成立，

在（1）③中，令， ，

则得在上单调递减，

所以，

即,

令，则得成立.

当时，可得.

即，

所以成立。