Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=

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，AD=1．
（I）求证：CD⊥平面PAC
（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD²+AC²=1=AD²，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC；
（II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=

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AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD．

解答：解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA?侧面PAD，
且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

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，AD=1．
∴AC=

AB2+BC2

=

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，∠CAB=∠CAD=45°
△CAD中由余弦定理，得
CD=

AC2+CD2-2•AC•CDcos45°

=

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可得CD²+AC²=1=AD²，得AC⊥CD．
又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．
（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，
证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则
∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=

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AD．
∵BC∥AD，BC=

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AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．

点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．