Question

已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ）设a＜b，比较f(

a+b

2

)，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函数的反函数，利用直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 利用导数求函数的最值，利用最值讨论曲线y=

f(x)

x2

与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ）利用作差法比较两个数的大小．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的反函数为g（x）=lnx，g′(x)=

1

x

，
设切点为P（x₀，y₀），则k=

1

x0

，切线方程：y=

1

x0

x-1+lnx0，
则-1+lnx₀=1，∴x0=e2，∴k=

1

e2

．
（Ⅱ）设h(x)=

ex

x2

(x＞0)，则h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
由h'（x）＞0，得x＞2，
由h'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，所以h(x)min=h(2)=

e2

4

，
且x＞0且x→0，则h（x）→+∞；x→+∞，则h（x）→+∞．
所以0＜m＜

e2

4

时，没有交点；m=

e2

4

时 1个交点；m＞

e2

4

时 2个交点．
（Ⅲ）f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

=e

a+b

2

-

eb-ea

b-a

=ea(e

b-a

2

-

eb-a-1

b-a

)=ea•

(b-a)e b-a 2 -eb-a+1

b-a

；
∵a＜b，∴b-a＞0，e^a＞0，设t=

b-a

2

，t＞0，u=2t•e^t-e^2t+1u'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立，
设v=1+t-e^t，v'=1-e^t＜0，在t＞0时恒成立，v＜v（0）=0，
所以u'=2e^t（1+t-e^t）＜0在（0，+∞）恒成立）u=2t•e^t-e^2t+1在（0，+∞）递减，
t＞0时u＜u（0）=0，f(

a+b

2

)-

f(b)-f(a)

b-a

＜0，在a＜b时恒成立，f(

a+b

2

)＜

f(b)-f(a)

b-a

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，以及利用导数证明不等式，综合性较强，运算量较大．