Question

已知双曲线C的渐近线方程为y=±

3

x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：

|AB|

|FD|

为定值．

Answer 1

分析：（1）由渐近线方程为y=±

3

x，可设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0），由题知c=2，代入可求双曲线方程
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2-

y2

3

=1，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）则利用方程的根与系数的关系可求x₀，y₀．利用弦长公式可表示AB，然后由AB的垂直平分线方程可求D的坐标，进而求出FD，从而可求

解答：解：（1）设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由题知c=2，∴

λ

3

+λ=4，∴λ=3…（4分）
∴双曲线方程为：x2-

y2

3

=1…（5分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2-

y2

3

=1
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）
则x0=-

2k2

3-k2

，代入l得：y0=

-6k

3-k2

…（7分）
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=…=

6(k2+1)

|3-k2|

…（8分）
AB的垂直平分线方程为y=-

1

k

(x+

2k2

3-k2

)-

6k

3-k2

…（9分）
令y=0得xD=

-8k2

3-k2

…（10分）
∴|FD|=|

-8k2

3-k2

-2|=|

-6(1+k2)

3-k2

|=

6(1+k2)

|3-k2|

…（11分）
∴

|AB|

|FD|

=1为定值．…（12分）

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与曲线相交求解弦长，解题中要善于应用两直线垂直得斜率之间的关系．