Question

已知，函数．

（1）求的单调区间和值域；

（2）设，若，总，使得成立，求的取值范围；

（3）对于任意的正整数，证明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）单调减区间，单调增区间，（2）；（3）略

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

解 （1）令，解得（舍去），

	0	()		(1)	1
		__	0	+
		↘		↗

单调减区间，单调增区间，；…… 4分

（2）∵，

 ∴当时，…………………6分

∴为上的减函数，从而当时有，…8分

由题意知：，

即故 ；………………… 10分

（3）构造函数：，

则，………………… 11分

当时，，∴函数在上单调增，………………… 12分

∴时，恒有，……13分

即 恒成立，…………………14分

故对任意正整数，取有．