Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.

（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．

理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，

且，故且.所以，四边形为平行四边形.

所以，，又平面，平面，所以，平面.

（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，

又，所以，且平面平面，平面平面，

所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设，则由题意知，，，，

，，

设平面的法向量为，

则由得，令，则，，

所以取，显然可取平面的法向量，

由题意：，所以.

由于平面，所以在平面内的射影为，

所以为直线与平面所成的角，

易知在中，，从而，

所以直线与平面所成的角为.