Question

在直角梯形中，，，，如图，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求证：；

（2）若点为线段中点，求点到平面的距离；

（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)证明过程详见解析;（2） （3）存在

【解析】

试题分析：

（1）据题意，要证明，由线面垂直的性质例一得到只需要证明DC面ABD，又有面ABD与面BCD垂直，故根据面面垂直的性质，只需要证明DC垂直于面ABD与面BCD的交线BD,DC与BC垂直的证明可以放在直角梯形中利用勾股定理与余弦定理证明，三角形BCD为直角三角形.

（2）由（1）得平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离，即首先求出线段MC与面ADC的法向量的夹角，再利用三角函数值即可求的点面距离.此外，该题还可以利用等体积法来求的点面距离，即三棱锥M-ADC的体积，分别以M点为顶点和以A点为定点来求解三棱锥的体积，解出高即为点面距离.

（3）该问利用坐标法最为简洁，在第二问建立的坐标系的基础上，设,，利用来表示N点的坐标，求出面ACD的法向量，法向量与AN所成的夹角即为与平面所成角为的余角，利用该条件即可求出的值，进而得到N点的位置.

试题解析：

（1）证明：因为，

，，所以，， 1分

， 2分

，所以 3分．

因为平面平面,平面平面，

所以平面 4分．

又平面，所以 5分．

（2）解法1：因为平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴,过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知，得，，，，．所以，，． 7分．设平面的法向量为，则，，所以令，得平面的一个法向量为 9分

所以点到平面的距离为 10分．

解法2：由已知条件可得，，所以．

由（1）知平面，即为三棱锥的高，

又，所以 7分．

由平面得到，设点到平面的距离为，

则 8分．

所以，， 9分．

因为点为线段中点，所以点到平面的距离为 10分．

解法3：因为点为线段的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的． 6分 由已知条件可得，由（I）知,又，

所以平面， 8分

所以点到平面的距离等于线段的长． 9分

因为，所以点到平面的距离等于． 10分

（3）假设在线段上存在点，使得与平面所成角为 11分．

设,，，则，所以，． 12分

又平面的一个法向量为，且直线与平面所成的角为，

所以， 即，

可得， 解得或（舍去）． 13分

综上所述，在线段上是否存在点，使得与平面所成角为，

此时． 14分．

考点：垂直 等体积法 三维空间直角坐标系