Question

（2013•鹰潭一模）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为

64π

．

Answer 1

分析：根据三视图的定义与性质，可得该几何体是底面边长为6，且高等于4的正三棱柱．因此，外接球球心在上、下底面中心连线段的中点．根据正三角形的性质，算出AH=

3

3

AB=2

3

，Rt△AHO中利用勾股定理算出AO=4，得外接球半径R=4，再用球的表面积公式，即可求出该几何体外接球的表面积．

解答：解：根据题意，得该几何体是底面边长为6，且高等于4的正三棱柱
设正三棱柱为如图的三棱柱ABC-DEF，
可得该几何体外接球的外接球球心为上、下底面中心的连线段的中点
设外接球球心为0点，上底面中心为H，（H为△ABC中线AM的三等分点）
∵正△ABC边长为6，
∴AM=

3

2

AB=3

3

，可得AH=

2

3

AM=2

3

Rt△AHO中，HO=

1

2

AD=2，
∴AO=

AH2+HO2

=4，即外接球半径R=4
因此，该几何体外接球的表面积为S=4πR²=64π
故答案为：64π

点评：本题将一个多面体的三视图还原，并求它的外接球的表面积，着重考查了三视图的定义与性质、正三棱柱的外接球等知识，属于中档题．