Question

已知函数（）.
（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（），求证：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

解析试题分析：（Ⅰ）求出的定义域及导函数，由函数在定义域内单调递增知，≥0在定义域内恒成立，通过参变分离化为在定义域内恒成立，求出的最小值，即≤即为的取值范围；（Ⅱ）先将关于的方程在[1,4]上恰有两个不等实根转化为方程 =在[1,4]上恰有两个不等实根，即函数y=（x∈[1,4]）图像与y=b恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=（x∈[1,4]）的单调性、极值、最值及图像，结合y=（x∈[1,4]）的图像，找出y=（x∈[1,4]）与y=b恰有两个交点时b的取值范围，即为所求;（Ⅲ）利用（x≠1），将放缩为即，通过累积，求出的范围，即为所证不等式.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，
，依题意在时恒成立，
则在时恒成立，即，
当时，取最小值-1，所以的取值范围是  4分
（Ⅱ），由得在上有两个不同的实根，
设
，时，，时，
，，
，得
则  8分
（Ⅲ）易证当且时，.
由已知条件，
故所以当时，