Question

（2009•宁波模拟）已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且?x₁，x₂∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对?n∈N*，有an=

1

f(n)

，bn=f(

1

2n+1

)+1，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer 1

分析：（1）要证函数f（x）+1是奇函数，即证明f（-x）+1=-[f（x）+1]．令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，移向整理即可．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，an=

1

2n-1

，bn=2×

1

2n+1

-1+1=

1

2n

，
得出anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂项后求出S_n，又

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，利用错位相消法求出T_n．
（3））由F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，判断得出F（n）随的增大而增大，F（2）为所求的最小值．

解答：解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=-1，再令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，an=

1

2n-1

，bn=2×

1

2n+1

-1+1=

1

2n

，
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

又

bn

an

=(2n-1)

1

2n

，
Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+…+(2n-1)

1

2n

①

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

23

+…+(2n-1)

1

2n+1

②
由①-②得出

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+… +

1

2n-1

)-(2n-1)

1

2n+1

=

1

2

+(1-

1

2n-1

)-(2n-1)

1

2n+1

计算整理得出得
Tn=3-

2n+3

2n

（3）∵F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0
∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，
∴F（n）的最小值为F(2)=a3+a4=

12

35

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和中的裂项法、错位相消法．考查构造、变形、计算、推理论证能力．