Question

已知二次函数 f（x）=ax²+bx+c（x∈R），满足f(0)=f(

1

2

)=0且f（x）的最小值是-

1

8

．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切（n∈N^*），点（n，S_n）在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过b_n=

sn

n+c

构造一个新的数列{b_n}，是否存在非零常数c，使得{b_n}为等差数列；
（3）令c_n=

sn+n

n

，设数列{c_n•2c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1））由于f(0)=f(

1

2

)=0，及f(x)的最小值是-

1

8

，利用二次函数图象的对称性可设f(x)=a(x-

1

4

)2-

1

8

．又f（0）=0，代入即可解得a，可得f（x），由于点（n，S_n）在函数f（x）的图象上，可得S_n关于n的二次函数．当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n．
（2）由于bn=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

，只要取得的c的值使得b_n为关于n的一次函数即可．
（3）把S_n代入即可得到C_n，利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）∵f(0)=f(

1

2

)=0，∴f（x）的对称轴为x=

0+ 1 2

2

 =

1

4

，
又∵f(x)的最小值是-

1

8

，∴二次函数图象的对称性可设f(x)=a(x-

1

4

)2-

1

8

．
又f（0）=0，∴0=

1

16

a-

1

8

，解得a=2，
∴f(x)=2(x-

1

4

)2-

1

8

=2x2-x．
∵点（n，S_n）在函数f（x）的图象上，∴Sn=2n2-n．
当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3．
当n=1时，上式也成立．
∴an=4n-3(n∈N*)．
（2）∵bn=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

，
令c=-

1

2

(c≠0)，即得b_n=2n，此时数列{b_n}为等差数列，∴存在非零常数C=-

1

2

，使得{b_n}为等差数列．
（3）Cn=

Sn+n

n

=

2n2-n+n

n

=2n，则Cn?2Cn=2n×22n=n×22n+1，
∴Tn=1×23+2×25+…+(n-1)•22n-1+n•2²ⁿ⁺¹，
4Tn=1×25+2×27+…+(n-1)22n+1+n×22n+3，
两式相减得：-3

T

n

=23+25+…+22n+1-n×22n+3=

23(1-4n)

1-4

-n?22n+3，
∴Tn=

23(1-4n)

9

+

n?22n+3

3

=

(3n-1)22n+3+8

9

．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、数列的通项公式a_n与S_n之间的关系、等差数列的定义与通项公式及前n项和公式、“错位相减法”即等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．