Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2+1（m＞0）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由m=1可得函数的解析式，计算可得f（2）的值，即可得点（2，f（2））的坐标，对f（x）求导，将x=2代入可得f′（2）的值，即可得该切线的斜率；由直线的点斜式方程，代入数据可得答案．
（Ⅱ）对f（x）求导可得f′（2），解f′（x）=0与f′（x）≥0，可得函数f（x）的单调增区间，根据题意，分析可得m+1≤-3m或2m-1≥m，解可得①式；由区间的定义可得m+1＞2m-1，解可得②式；由题意有m＞0，③式；综合三个式子，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1，f（2）=

8

3

+4-6+1=

5

3

；
f′（x）=x²+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，
所以所求切线方程为y-

5

3

=5（x-2），即15x-3y-25=0；
（Ⅱ）对于f（x）=

1

3

x³+mx²-3m²x+1，
f′（x）=x²+2mx-3m²，
令f′（x）=x²+2mx-3m²=0，解可得x=-3m或x=m；
由于m＞0，则m＞-3m，
若f′（x）=x²+2mx-3m²≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），
要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
应有m+1≤-3m或2m-1≥m，
解得m≤

1

4

或m≥1，①
对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②
又由m＞0，③
综合三式可得1≤m＜2，
即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．

点评：本题考查利用导数求切线方程与判断函数的单调区间，解（Ⅱ）时，不要遗漏对区间（2m-1，m+1）分析．