Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
（2）求证：AG∥平面BEF；
（3）试在棱BB₁上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

Answer 1

（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），E(1，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)，G(0，

1

2

，1)，
∴

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
∴cos＜

AG

，

BF

＞=

3 2

3 2 • 5 2

=

2 5

5

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为

2 5

5

．
（2）∵

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
而

AG

=(-1，

1

2

，1)，∴

AG

=

EF

+

BF

，
故

AG

与平面BEF共面，
又因为AG不在平面BEF内，
∴AG∥平面BEF．
（3）设M（1，1，m），则

DM

=(1，1，m)
由

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，
∴-

1

2

+m=0⇒m=

1

2

，
所以M为棱BB₁的中点时，DM⊥平面BEF．