Question

（2012•惠州模拟）已知椭圆C：  

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的离心率为

6

3

，且经过点(

3

2

，

1

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，得 

b

a

=

1

3

．再由椭圆C经过点(

3

2

，

1

2

)，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由 e2=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

2

3

，
得 

b

a

=

1

3

．   ①…（2分）
由椭圆C经过点(

3

2

，

1

2

)，得

9

4a2

+

1

4b2

=1．    ②…（3分）
联立①②，解得 b=1，a=

3

．  …（4分）   
所以椭圆C的方程是 

x2

3

+y2=1．  …（5分）
（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k²）x²+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

． …（9分）
所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|=

1

2

×2×|x1-x2|=|x1-x2|．     …（10分）
因为 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-

12k

1+3k2

)2-

36

1+3k2

=

36(k2-1)

(1+3k2)2

，
设 k²-1=t（t＞0），
则 (x1-x2)2=

36t

(3t+4)2

=

36

9t+ 16 t +24

≤

36

2 9t× 16 t +24

=

3

4

．   …（13分）
当且仅当9t=

16

t

，即t=

4

3

时等号成立，
此时△AOB面积取得最大值

3

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算．考查运算推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．