Question

如图，在正方体中，、分别为棱、的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）如果，一个动点从点出发在正方体的

表面上依次经过棱、、、、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.

 

 

Answer 1

（1）证明:连结.

在正方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

 .

      .                                                       …………2分

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                                                 …………4分

（2）证明: 在正方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                   …………6分

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．              …………8分

（3）最小值为 .                     …………10分

如图，将正方体六个面展开成平面图形，           ………12分

从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中点，所求的最小值为 .             …………14分