Question

（2012•济南三模）已知直线l：y=x+1，圆O：x2+y2=

3

2

，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，-

1

3

）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设可知b=1，利用e=

3

2

，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．

解答：解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，（2分）
又e=

3

2

，∴

a2-1

a2

=

3

4

，∴a²=4      （3分）
所以椭圆C的方程是

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1①
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2+(y+

1

3

)2=

16

9

  ②…（6分）
由①②解得

x=0 y=1

．
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…（7分）
事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x²+y²=1，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx-

1

3

，代入椭圆方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0（8分）
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

12k

18k2+9

，x₁x₂=

-16

18k2+9

∵

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1）
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（k²+1）x₁x₂-

4

3

（x₁+x₂）+

16

9

=

-16k2-16-16k2+32k2+16

18k2+9

=0
∴

TA

⊥

TB

，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（11分）
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．