Question

已知三棱锥A-BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  6

  或36+

  π

  6

• C、36-

  π

  6

• D、

  π

  6

  或36-

  π

  6

Answer 1

分析：由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．

解答：解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），
   有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的

1

8

或该三棱锥减去此球体的

1

8

，即：V=

1

8

×

4

3

π×13=

π

6

或V=

1

3

×

1

2

× 6×6×6-

π

6

=36-

π

6

．
故选D

点评：此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的体积公式即计算能力．