Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E；
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点；
①设点M（m，0），问：是否存在实数m，使得直线l绕点F₂无论怎样转动，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由；
②过P、Q作直线x=

1

2

的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，从而可求轨迹E的方程
（Ⅱ）①斜率存在时，假设直线方程与双曲线方程联立．假设存在实数m，使得

MP

•

MQ

=0，故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，从而可求m的值；当直线l的斜率不存在时，知结论也成立．
②利用双曲线定义，进而表示出λ=

|PA|+|QB|

|AB|

，根据k²＞3，可求

1

2

＜λ＜

3

3

，注意到直线的斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=

1

2

，故λ∈[

1

2

，

3

3

)．

解答：解：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b²=3，故轨迹E的方程为x2-

y2

3

=1(x≥1)．…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），

∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

，解得k²＞3
（i）∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2…（7分）
假设存在实数m，使得

MP

•

MQ

=0，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．∴当m=-1时，

MP

•

MQ

=0．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，存在m=-1，使得

MP

•

MQ

=0．
（ii）∵a=1，c=2，∴直线x=

1

2

是双曲线的右准线，
由双曲线定义得：|PA|=

1

e

|PF2|=

1

2

|PF2|，|QB|=

1

2

|QF2|，
∴λ=

|PQ|

2|AB|

=

1+k2 |x2-x1|

2|y2-y1|

=

1+k2 |x2-x1|

2|k(x2-x1)|

=

1+k2

2|k|

=

1

2

1+ 1 k2

．
∵k²＞3，∴0＜

1

k2

＜

1

3

，∴

1

2

＜λ＜

3

3

注意到直线的斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=

1

2

，综上，λ∈[

1

2

，

3

3

)．

点评：本题以双曲线的定义为载体，主要考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，注意向量条件的转化．