Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，且，，平面PAC.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线PC与AD所成的角为30°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据线面垂直判断定理:如果一条直线垂直一个平面内的两条相交线,那么这条线垂直这个平面，要证平面，只需证明和，即可求得答案；

（2）先求证平面，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，根据，即可求得答案.

（1）在中，，，

由余弦定理得：

，

，，即

平面PAC，平面PAC，

.

又平面PAB，平面PAB，，

平面PAB.

（2），

是异面直线PC与AD所成的角，

又平面，

，在中，，，，

，易知，

在中，，

，取AB的中点E，连接PE，则.

由（1）知平面PAB，

，

又平面，平面ABCD，，

平面ABCD，

如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

可得：，，，

设平面PBC的法向量为，

则

取，则，

，是平面PBC的一个法向量

设平面PDC的法向量为，

则，

则，取，则，

，是平面PDC的一个法向量.

，

由图可知二面角是钝二面角，

二面角的余弦值为.