Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表．记表中第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足2b_n=b_nS_n-S_n²（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明数列{

1

Sn

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

4

91

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

Answer 1

分析：（1）由n≥2时，2b_n=b_nS_n-S_n²，得2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-Sn2=-S_nS_n-1，两边同除以S_nS_n-1整理后得

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，由此可知数列{

1

Sn

}是等差数列，从而可求得S_n，根据S_n与b_n的关系可求得b_n；
（2）设上表中从第三行起，每行中的数构成的等比数列的公比都为q，且q＞0．易判断a₈₁所在的行和列，借助b_n可求得公比q，再根据等比数列的求和公式可求得结果；

解答：解：（1）由已知，当n≥2时，2b_n=b_nS_n-S_n²，
又S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-Sn2=-S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，又S₁=b₁=a₁=1．
∴数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．  
∴

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，则Sn=

2

n+1

．
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

，
∴bn=

1，(n=1) - 2 n(n+1) ，(n≥2，n∈N*)

；
（2）设上表中从第三行起，每行中的数构成的等比数列的公比都为q，且q＞0．
∵1+2+…+12=

12×13

2

=78，
∴表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，
故a₈₁在表中第13行第3列，∴a81=b13•q2=-

4

91

．
又b13=-

2

13×14

，∴q=2．                         
记表中第k（k≥3）行所有数的和为S_n，则
Sn=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-2k)

1-2

=

2

k(k+1)

•(1-2k)(k≥3，k∈N*)．

点评：本题考查等差关系的确定、等比数列的通项公式及数列的求和，属中档题，考查学生分析问题解决问题的能力．