Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO.

（1）求证：AB⊥平面PAD；

（2）若AD＝2AB＝4， PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P－BC－D的大小为，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；

【解析】

（1）设N是BC的中点，可得，所以，可得平面；

（2）由二面角的定义找到二面角的平面角，得到,建系求得平面的一个法向量及直线的向量，利用公式可求得直线BP与平面MAC所成角的正弦值.

（1）在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，因为O是AD的中点，所以，

又因为，得，所以，

平行四边形ABCD中，，则，又且平面平面，

故平面.

（2）由（1）知平面，又平面，于是平面平面，

连接，由,可得，

则，又，所以平面，得，故二面角的平面角为，

所以，以O为原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则，

由，可知，则，

设平面MAC的一个法向量为，由，即，令，得，

所以，

设直线BP与平面MAC所成的角为，

所以，

所以直线BP与平面MAC所成角的正弦值为.

故得解.