Question

（1）用坐标法证明余弦定理：已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2b=a+c，求角B的最大值；
（3）如果三个正实数a，b，c满足a²=b²+c²-2bccosA，A∈（0，π），那么是否存在以a，b，c为三边的三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），由此可证余弦定理；
（2）由已知的等式表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把表示的b代入利用基本不等式即可求出cosB的最大值，由B的范围及余弦函数在此范围内为减函数，即可得到角B的最大值．
（3）用反证法证明．假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即 c+b＜a，两边平方，再代入条件，引出矛盾，从而得证．

解答：解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0）
∴

BC

=(c-bcosA，bsinA)
∴a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA；

（2）由2b=a+c，得到b=

a+c

2

，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 4 )2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
由B∈（0，180°），cosB为减函数，
所以内角B的最大值为60°．
（3）不妨假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即 c+b＜a
∴c²+b²+2cb＜b²+c²-2bccosA
∴cosA＜-1
∵A∈（0，π），
∴矛盾
故假设不成立，即存在以a，b，c为三边的三角形

点评：本题以三角形为载体，考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象和性质，是一道中档题．