Question

【题目】已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）若定义域为，解不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）

【解析】试题分析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，

原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义（-1，1）求解得x范围。

试题解析：（1）函数为奇函数．证明如下：

定义域为

又

为奇函数

（2）函数在（-1，1）为单调函数．证明如下：

任取，则

，

即

故在（-1，1）上为增函数

（3）由（1）、（2）可得

则

解得：

所以，原不等式的解集为