Question

设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和．
（1）求证：数列{S_n}不是等比数列；
（2）数列{S_n}是等差数列吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，利用等比数列的求和公式可求q，结合等比数列的公比性质可判断
（2）分q=1，q≠1两种情况分别利用等比数列的求和公式代入即可证明

解答：解：（1）证明：假设数列{S_n}是等比数列，则S₂²=S₁S₃，
即a₁²（1+q）²=a₁•a₁（1+q+q²），
因为a₁≠0，所以（1+q）²=1+q+q²，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S_n}不是等比数列．
（2）当q=1时，{S_n}是等差数列；当q≠1时，{S_n}不是等差数列，
否则2S₂=S₁+S₃，即2a₁（1+q）=a₁+a₁（1+q+q²），得q=0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S_n}不是等差数列．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，等比数列的性质及等差数列的判断，属于基础试题