Question

将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证：．

Answer 1

证明：（1）显然，交换任何两行或两列，特征值不变．
可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2，3或2，4或3，4．
得到数表的不同是或 …（3分）

7	1	4
5	8	2
3	6	9

（2）当n=3时，数表为此时，数表的“特征值”为 …（4分）

13	1	5	9
10	14	2	6
7	11	15	3
4	8	12	16

当n=4时，数表为此时，数表的“特征值”为．…（5分）

21	1	6	11	16
17	22	2	7	12
13	18	23	3	8
9	14	19	24	4
5	10	15	20	25

当n=5时，数表为此时，数表的“特征值”为．…（6分）
猜想“特征值”为．…（7分）
（3）设a，b（a＞b）为该行（或列）中最大的两个数，则λ≤≤，
因为-==＜0
所以＜，从而λ＜…（13分）
分析：（1）可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数的可能，可得特征值；
（2）分别写出当n=3，n=4，n=5时的图表，由特征值的定义可得答案．
（3）设a，b（a＞b）为该行（或列）中最大的两个数，易得λ≤≤，作差可证＜，进而可得答案．
点评：本题考查类比推理和归纳推理，属基础题．