Question

设f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，若当x∈（0，1]时，f（x）取得极大值，x∈（1，2]时，f（x）取得极小值，则

a-1

b-2

的取值范围是

（1，4]

．

Answer 1

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

a x2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤ a+b+2≥0

0，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，

b-2

a-1

表示点A（1，2）与可行域内的点B连线的斜率，
当B（x，y）=M（-1，0）时，

b-2

a-1

最大，最大为1；
当B（x，y）=N（-3，1）时，

b-2

a-1

最小，最小为

1

4

；
所以

b-2

a-1

∈[

1

4

，1）⇒

a-1

b-2

∈（1，4]．
故答案为（1，4]．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．