Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a。
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即
记，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于
求得
当时，
当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，即
故；
（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a
在［1，3］上恰有两个相异实根。
令g（x）=x-2lnx，则
当时，
当时，
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数
故
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3）
∴只需g（2）＜a≤g（3）
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）存在m=，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性

函数f（x）的定义域为（0，+∞）
若，则
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意
若，由可得2x²-m>0，解得x＞或x＜-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0， ）
而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）
故只需
解之得m=
即当m=时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性。