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    给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1 275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:?

    首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第一组余差；?

    然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…,直至第N组(余差为rn)把这些数全部分完为止.?

    (1)判断r1,r2,…,rn的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数；?

    (2)当构成第n(n＜N)组后,指出余下的每个数与rn的大小关系,并证明

    (3)对任何满足条件T的有限个正数,证明N≤11.

    解析:(1)r1≤r2≤…≤rn，除第N组外的每组至少含有=3个数.?

    (2)当第n组形成后，因为n＜N,所以还有数没有分完，这时余下的每个数必大于余差rn,余下数之和也大于第n组的余差rn,?

    即L-［(150-r1)+(150-r2)+…+(150-rn)］＞rn,?

    由此可得r1+r2+…+rn-1＞150n-L.?

    因为(n-1)rn-1≥r1+r2+…+rn-1,?

    (3)用反证法证明结论.假设N＞11,即第11组形成后，还有数没有分完，由(1)和(2)可知余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10,?

    故余下的每个数

    因为第11组数中至少含有3个数,?

    所以第11组数之和大于37.5×3=112.5.?

    此时,第11组的余差r11=150-

    第11组数之和＜150-112.5=37.5,?

    这与(*)式中r11＞37.5矛盾,?

    所以N≤11.

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    （Ⅰ）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
    （Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1＞
    150n-Ln-1
    ；
    （Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

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    科目：高中数学 来源：北京 题型：解答题

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    然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止．
    （I）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
    （II）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明rn-1＞
    150n-L
    n-1

    （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

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    科目：高中数学 来源：2004年北京市高考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

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    （I）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
    （II）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明
    （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

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    科目：高中数学 来源：2004年北京市高考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

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