Question

如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=

3

，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数．
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程．

Answer 1

（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程为

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．
（2）设直线方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，将其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直线方程为y=-

3

2

x+2

3

，验证得知，这时M(0，2

3

)，N(4，0)适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y=-

3

2

x+2

3

．