Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．
（3）当x∈（-∞，0）时，写出函数f（x）=x+

1

x

的单调区间（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断．（2）利用函数的单调性或导数证明．（3）利用函数的单调性确定函数的单调区间．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
所以f(-x)=-x-

1

x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，所以函数f（x）是奇函数．
（2）任设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数在（0，1）上为减函数．
（3）由（1）（2）知，f（x）在（-1，0）上是减函数，在（-∞，1）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用定义法证明函数的单调性以及判断函数的单调区间．