Question

（本小题满分14分）

如图，直线和相交于点且，点.以为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点的距离相等.若为锐角三角形，，，且.

（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；

（2）在（1）所建的坐标系下，已知点在曲线段C上，直线，求直线被圆截得的弦长的取值范围.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：法一：

（1）依题意易知曲线段c是抛物线的一部分

（2）如图建立坐标系，以l₁为x轴，MN的垂直平分线

为y轴，点O为坐标原点.

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线

的一段，其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为，y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0）

其中x_A、x_B分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）

由|AM|＝，|AN|＝3得：

（x_A＋）²＋2px_A＝17             ①

（x_A）²＋2px_A＝9        ②

由①②两式联立解得x_A＝，再将其代入①式并由p>0，解得或

因为△AMN是锐角三角形，所以＞x_A，故舍去

所以p＝4，x_A＝1．由点B在曲线段C上，得x_B＝|BN|＝4．

综上得曲线段C的方程为y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

（3）点在曲线段C上，

圆的圆心到直线的距离为

则直线被圆截得的弦长

所以则直线被圆截得的弦长的取值范围为

 

解法二：

（1）同前

（2）如图建立坐标系，分别以l₁、l₂为x、y轴，

M为坐标原点.作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别

为E、D、F.设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）

依题意有x_A＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，

y_A＝|DM|＝

由于△AMN为锐角三角形，故有

x_N＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，x_B＝|BF|＝|BN|＝6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

｛（x，y）|（x－x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0｝

故曲线段C的方程为y²＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

（3）方法同前

 

【解析】略