Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4

3

，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．求出高PO和底面ABCD的面积，可求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出

PA

，

BD

，计算

PA

•

BD

=0，就证明了PA⊥BD．
法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．

解答：解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3

3

，四棱锥P-ABCD的体积
V_P-ABCD=

1

3

×8×4

3

×3

3

=96．

（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得
P（0，0，3

3

），A（2

3

，-3，0），B（2

3

，5，0），D（-2

3

，-3，0）
所以

PA

=(2

3

，-3，-3

3

)，

BD

=(-4

3

，-8，0)．
因为

PA

•

BD

=-24+24+0=0，所以PA⊥BD．
法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2

3

，又知AD=4

3

，AB=8，得

EO

AE

=

AD

AB

．
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．

点评：本题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力．