Question

（本题满分10分）

如图，已知抛物线M：的准线为，N为上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A、B，再分别过A、B两点作的垂线，垂足分别为C，D。

求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；

若的面积成等差数列，求此时点N的坐标。

Answer 1

【必做题】

解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为，

所以可设点的坐标分别为，

，，则，，

 由，得，求导数得，于是，

即，化简得，

同理可得，

所以和是关于的方程

两个实数根，所以，

且．

在直线的方程中，

令，得=为定值，

所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………………………5分

(2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，

因为是抛物线的焦点，所以，所以，

所以

，

又因为，，

所以，，成等差数列，即成等差数列，

即成等差数列，所以，，

所以，，

时，，，

时，，，

所以所求点的坐标为．………………………………………………………………10分

解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，，

设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得，

因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为，

在直线的方程中，令得

=为定值，

所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………………………5分

（2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以，

连接，则直线斜率为，

又因为直线的斜率，

所以，

所以，又因为，所以，

所以和的面积成等差数列，所以成等差数列，

所以成等差数列，所以，，

所以，，

时，，，

时，，，

所以所求点的坐标为．  …………………………………………………………10分

（以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分）