Question

（本小题满分13分）等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知数列是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25.
（1）求数列{k_n}的通项；
（2）若a₁=9，设b_n= +，S_n=b₁²+b₂²+b₃²+…+ b_n²， T_n= + + +…+，试判断数列{S_n+T_n}前100项中有多少项是能被4整除的整数。

Answer 1

（1） （2）前项中有100项是能被4整除的整数

（1）利用等差和等比数列的性质得出关于k_n的式子，进一步求出通项；（2）先求出b_n，进一步求出的通项公式，再利用二项式知识解决整除问题
解：（1）由得到：，所以：，
因为公差，得：，即，
所以等比数列的公比是，……………………4分
得到：，即.…………………………………………6分
（2），所以：，…………………7分
则：-2=，
所以：=………………………………………9分
当为偶数时：，能被4整除，也能被4整除，
所以能被4整除.………………………………………………………………11分
当为奇数时，，
能被4整除，也能被4整除，
所以能被4整除.………………………………………………………………12分
所以数列前项中有100项是能被4整除的整数.…………………13分