Question

已知函数f(x)=

ax2+d+1

bx+c

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）可求c=d=0
由f（1）=

a+1

b

=2及f（2）=

8b-3

2b

＜3，a，b，c，d∈Z，可求
（2）由（1）可得函数g（x）=x³+x，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，，利用单调性的定义，只要作差判断g（x₂）＞g（x₁），即可 证明

解答：解：（1）因为函数f(x)=

ax2+d+1

bx+c

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴

ax2+d+1

-bx+c

=-

ax2+d+1

bx+c

解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax³+cx²-bx+d=-ax³-cx²-bx-d
∴d=0…（2分）
∴f(x)=

ax2+1

bx

，g（x）=ax³+bx
由f（1）=

a+1

b

=2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得f(x)=

(2b-1)x2+1

bx

，
∵f（2）=

8b-3

2b

＜3，即4-

3

2b

＜3，
∴

3

2b

＞1，所以b＞0，由此可解得：0＜b＜

3

2

…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x³+x，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，…（1分）

g(x2)-g(x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)+(x2-x1) =(x2-x1)[(x22+x2x1+ 1 4 x12)+ 3 4 x12+1]=(x2-x1)[(x2+ 1 2 x1)2+ 3 4 x12+1]

∵x₂-x₁＞0，(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12+1＞0，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）

点评：本题 主要考查了利用奇函数的定义及函数性质求解函数的解析式，函数的单调性定义在证明中的应用，属于中档试题