Question

（09年崇文区期末理）（14分）

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，ΔABD和ΔBCD均为等边三角形，

AB =2 ,  AC =．   

（I）求证：平面BCD；                                   

（II）求二面角A-BC- D的大小；                                                        

（III）求O点到平面ACD的距离．                                                      

Answer 1

解析：解法一：

证明：连结OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------1分

,，

       ∴ ．                ------------------------------------------------------2分

在中，     

∴即   -------------------------------------------------------------3分

             

∴平面．  ---------------------------------------------------------------------------4分

       （II）过O作，连结AE，

       ,

∴AE在平面BCD上的射影为OE．

∴．

∴ ．  -----------------------------------------7分

在中，,,，    ------------------8分

       ∴．

       ∴二面角A-BC-D的大小为．   ---------------------------------------------------9分

       （III）解：设点O到平面ACD的距离为

，

 ∴．

在中， ，

             ．

而，

∴．

         ∴点O到平面ACD的距离为．-----------------------------------------------------14分

        解法二：

       （I）同解法一．

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则       -------------------------------------------5分

       ，

∴．  -------------------------------------------------6分

设平面ABC的法向量，

，，

由．----------------------------------------8分

设与夹角为，

则．

 ∴二面角A-BC-D的大小为．  -----------------------------------------9分

       （III）解：设平面ACD的法向量为，又， 

       ．   -----------------------------------11分

设与夹角为，

   则     ----------------------------------------12分

       设O 到平面ACD的距离为h，

∵，

∴O到平面ACD的距离为．  -----------------------------------------------14分